«Несуществующие» объекты

Мы уже говорили о «невозможных» числах: иррациональных, отрицательных, мнимых. С точки зрения платонизма использование таких чисел совершенно недопустимо, а соответствующие знаки бессмысленны. Однако индийские и арабские математики стали их понемногу использовать, а в современной математике они укоренились окончательно и бесповоротно и получили подкрепление в виде новых «несуществующих» объектов таких, как бесконечно удаленная точка плоскости. Но это произошло не сразу и возможность получать правильные результаты, оперируя с «несуществующими» объектами, долгое время представлялась удивительной и таинственной. В 1612 г. математик Клавий по поводу правила «минус на минус дает плюс» писал: «Здесь проявляется слабость человеческого разума, который не в состоянии постигнуть, почему оно может быть верным».

В 1674 г. Гюйгенс по поводу одного соотношения между комплексными числами замечает: «Здесь таится что-то для нас непонятное». «Непостижимые загадки математики» — любимое выражение начала XVIII столетия. Даже Коши в 1821 г. обладал еще весьма неясными представлениями о действиях над комплексными величинами.

Последние сомнения и неясности, связанные с не интерпретируемыми объектами, исчезли только с введением аксиоматического подхода к математическим теориям и окончательным осознанием «языковости» математики. Сейчас мы считаем, что удивляться или противиться наличию в математике таких объектов не больше оснований, чем оснований удивляться или противиться наличию у автомобиля других деталей, кроме четырех колес, которые непосредственно соприкасаются с землей и приводят автомобиль в движение. Комплексные числа и тому подобные объекты — это внутренние «колесики» математических моделей, которые связаны с другими «колесиками», но не связаны непосредственно с «землей», т. е. элементами неязыковой действительности. Поэтому можно действовать с ними, как с формальными объектами (т. е. со знаками, нарисованными на бумаге), в соответствии с их свойствами, определяемыми' аксиомами. И не следует огорчаться из-за того, что вы не можете пойти в булочную и купить v-15 бубликов.