Италия, XVI век

В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465–1526) находит общее решение уравнения третьей степени

х + рх = q

при положительных р и q, но держит его в секрете, ибо оно представляет большую ценность на соревнованиях по решению задач, которые тогда широко практиковались в Италии. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре. В 1535 г. Фиоре вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499–1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам находит решение! Тарталья побеждает на соревновании, но также держит свое открытие в секрете. Наконец, на сцене появляется Джероламо Кардано (1501–1576). Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. Это ему удается, и в 1545 г. он публикует книгу, в которой сообщает алгоритм, сводящий решение кубического уравнения к радикалам («формула Кардано»). В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное учеником Кардано Луиджи (Лудовико) Феррари (1522–1565), а именно решение в радикалах уравнения четвертой степени. Тарталья обвиняет Кардано в нарушении клятвы, завязывается острая и продолжительная полемика. При таких обстоятельствах заявляет о своих первых существенных достижениях математика Нового времени.

Использование инструмента подсказывает пути к его усовершенствованию. Стремясь к единообразному решению уравнений, математики обнаружили, что для достижения этой цели чрезвычайно полезно внести некоторые новые объекты и обращаться с ними так, как если бы это были числа. Их и называют числами, хотя понимают, что они отличаются от «настоящих» чисел; это проявляется в том, что им придают такие эпитеты, как «ложные», «фиктивные», «непостижимые», «мнимые». Чему они соответствуют в действительности, остается не совсем ясным или совсем неясным. Законно ли их использование, тоже остается спорным. Тем не менее, их используют все шире, ибо с их помощью получаются конечные результаты, которые содержат лишь «настоящие» числа и которые нельзя получить иначе. Человек, последовательно придерживающийся учения Платона, не мог бы использовать «ненастоящие» числа. Однако индийские, арабские и итальянские математики отнюдь не были последовательными платониками; здоровое любопытство и прагматические соображения перевешивали для них теоретическую недозволенность. Правда, при этом они все-таки делали оговорки и как бы извинялись за свое «некорректное» поведение.

Все «ненастоящие» числа — продукт обратного хода арифметической модели, они формально являются решениями таких уравнений, которые не имеют решения в области «настоящих» чисел. В первую очередь надо назвать отрицательные числа. Мы находим их уже в довольно развитом виде у индийского математика Бхаскары (XII в.), который совершает над ними все четыре действия арифметики. Интерпретация отрицательного числа как долга (в противоположность имуществу) была известна индусам еще в XII в. Бхаскара, формулируя правила действий над отрицательными числами, называет их «долг», а положительные — «имущество». Объявить отрицательное число таким же абстрактным понятием, как положительное число, он не решается. «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел», — пишет Бхаскара. Примерно так же относятся к отрицательным числам и в Европе XV–XVI вв. При геометрической интерпретации отрицательные корни называют «ложными» в отличие от «истинных» положительных корней. Современная интерпретация отрицательных чисел как точек, лежащих левее точки нуль, появилась только в «Геометрии» Декарта (1637 г.). По традиции Декарт называл отрицательные корни «ложными».

Формальные действия над корнями из чисел, которые не извлекаются в точном виде, восходят к глубокой древности, когда еще не было понятия о несоизмеримости отрезков. В XV–XVI вв. с ними обращаются совсем запросто — помогает здесь, конечно, простая геометрическая интерпретация. Понимание теоретической трудности, вытекающей из несоизмеримости отрезков, проявляется в названии этих чисел: «иррациональные», т. е. не постижимые разумом.

Квадрат любого числа положителен, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует среди положительных, отрицательных, рациональных или иррациональных. Однако Кардано осмелел настолько, что стал формально оперировать (не без оговорок) с корнями из отрицательных чисел. Так в XVI в. возникли самые невозможные из всех невозможных чисел — «мнимые». Логика использования алгебраического языка неудержимо влекла математиков по неизведанному пути. Он казался незаконным и таинственным, но интуиция подсказывала, что все эти невозможные числа имеют глубокий смысл и новый путь себя оправдает. Так оно и оказалось.