Упадок греческой математики

Б. Ван дер Варден пишет:

После Аполлония греческая геометрия сразу кончается. Правда, были еще эпигоны, вроде Диокла и Зенодора, которые время от времени решали некоторые задачи, оставшиеся им от Архимеда и Аполлония, словно крохи от пира великих. Писались еще, правда, произведения типа сборников вроде сочинения Паппа Александрийского (300 г.); математика еще применялась для практических или астрономических задач, причем разрабатывалась плоская и сферическая тригонометрия. Но, кроме тригонометрии, ничего значительного, ничего нового уже не появлялось. Геометрия конических сечений дожила до Декарта в той форме, какую придал ей Аполлоний; произведения Аполлония читались очень мало, а частью были также утрачены. «Метод» Архимеда также был потерян из вида, и проблема интегрирования оставалась без движения, пока за нее не взялись снова в XVII в. ...

Упадок греческой математики частично был вызван причинами внешнего порядка — политическими бурями, охватившими Средиземноморскую цивилизацию. Однако решающее значение имели все же внутренние причины. В астрономии, замечает Ван дер Варден, развитие шло все время по восходящей линии; тут бывали короткие и длинные остановки, но после их окончания работа возобновлялась с того места, где она остановилась. В геометрии же имел место явный регресс. Причина кроется, конечно, в отсутствии алгебраического языка. У Ван дер Вардена мы читаем:

Уравнения первой и второй степени можно было хорошо передать на языке геометрической алгебры; в крайнем случае, это было возможно для уравнений третьей степени. Но пойти дальше можно было, только пользуясь громоздкими и утомительными средствами пропорций.

Гиппократ, например, приводил кубические уравнения x = V к пропорции

a : х = х : у = у : b,

а Архимед писал уравнение третьей степени

х(a - х) =

в виде пропорции

(a - x) : b = c : x.

Этим путем еще можно добраться до уравнений четвертой степени; примеры этого, пожалуй, можно найти и у Аполлония. Однако дальше пойти нельзя; больше того, чтобы получать результаты этим в высшей степени сложным методом, нужно было еще обладать математическим гением и быть весьма искушенным по части преобразования пропорций при помощи геометрических фигур. Нашими алгебраическими обозначениями может пользоваться каждый инженер или естествоиспытатель, а греческой теорией пропорций и геометрической алгеброй —только очень одаренный математик.

К этому присоединяется еще другое обстоятельство, а именно трудность письменной передачи.

Чтение доказательств у Аполлония требует долгого и напряженного размышления. Вместо удобной алгебраической формулы стоит длинная фраза, где каждый отрезок обозначается двумя буквами, которые всякий раз еще нужно отыскивать на чертеже. Чтобы понять ход мыслей, приходится заменять эти фразы современными сжатыми формулами...

При устном объяснении на отрезки можно указывать пальцем, можно делать ударение на особенно важных местах и, кроме того, можно рассказать, каким образом получилось доказательство. Все это отпадает в письменной формулировке строго классического стиля: доказательства закончены, логически обоснованы, но они ничего не подсказывают. Не можешь ничего возразить, чувствуешь, что попался в логическую мышеловку, но не видишь, какая основная линия рассуждений за этим скрывается.

Таким образом, пока еще традиция не прерывалась, пока каждое поколение могло передавать свою методику следующему, все шло хорошо и наука процветала. Но как только по ряду причин внешнего характера устная передача прерывалась, и оставались только одни книги, понимать труды великих предшественников становилось крайне трудно, а выйти за их пределы и двинуться вперед — почти невозможно.

Почему же греки, несмотря на их высокую математическую культуру и обилие одаренных математиков, так и не смогли создать алгебраического языка? Обычный ответ на этот вопрос таков, что этому помешала именно их высокая математическая культура, конкретнее — высокий уровень требований к логической строгости теории, ибо иррациональные числа, которыми, как правило, выражаются значения геометрических величин, греки не могли рассматривать как числа; если отрезки были несоизмеримы, то считалось, что числового отношения для них просто не существует. Это объяснение, хотя оно и верно в общих чертах, следует вместе с тем признать неточным и поверхностным. Стремление к логической строгости не может быть само по себе отрицательным фактором в развитии математики. Если оно выступает в качестве отрицательного фактора, то, очевидно, лишь в комбинации с какими-то другими факторами и вряд ли следует решающую роль в этой комбинации приписывать именно стремлению к строгости. Совершенная логическая строгость в окончательных формулировках и доказательствах не мешала Архимеду пользоваться нестрогими наводящими соображениями. Почему же она помешала созданию алгебраического языка? Здесь дело, конечно, не просто в высоком стандарте логической строгости, а во всем строе мышления, в философии математики. Декарт, создав современный алгебраический язык, вышел за рамки греческого канона, но это вовсе не значит, что он погрешил против законов логики или пренебрегал доказательствами. И иррациональные числа он мыслил как «точные», а вовсе не как замененные на свои приближенные значения. Некоторые неполадки с логикой начались уже после Декарта, в эпоху бурного развития анализа бесконечно малых. Тогда математики были так увлечены потоком открытий, что им просто было не до логических тонкостей. В XIX в. появилось время подумать, и под анализ была подведена более прочная логическая основа.

Причины ограниченности греческой математики мы уясним себе после того, как разберем сущность переворота в математике, произведенного Декартом.