Об аксиомах арифметики и логики

Первичные положения арифметики принципиально имеют ту же природу, что и первичные положения геометрии, но они, пожалуй, еще проще и очевидней, их отрицание еще более невообразимо, чем отрицание геометрических аксиом. Возьмем, например, аксиому, гласящую, что для любого числа a

a + 0 = a.

Число 0 изображает пустое множество. Можете ли вы представить себе, что от слияния некоторого множества с пустым множеством число элементов в нем изменится? Или вот еще одна арифметическая аксиома: для любых чисел a и b

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

т. е. если единицу прибавить к числу b и результат сложить с а, то получим такое же число, как если бы мы сначала сложили a и b, а затем к результату прибавили единицу. Если проанализировать, почему мы не можем вообразить ситуацию, противоречащую этому утверждению, то мы увидим, что дело в тех же соображениях непрерывности, которые проявляются и в геометрических аксиомах. В процессе счета мы как бы проводим непрерывные линии, соединяющие считаемые предметы с элементами стандартного множества и, конечно, линии во времени (вспомним происхождение понятия «предмет»), непрерывность которых обеспечивает тождественность числа самому себе.

Естественный звуковой язык при перенесении его на бумагу порождает линейный язык, т. е. такую систему, все подсистемы которой суть линейные последовательности знаков. Знаки — это предметы, относительно которых предполагается только то, что мы умеем отличать одинаковые (тождественные) знаки от различных. Линейность естественных языков является результатом того, что звуковой язык развертывается во времени, а отношение следования во времени легко моделируется отношением порядка расположения на пространственной прямой. Специализация естественного языка привела к созданию математического линейного знакового языка, который в настоящее время образует основу математики.

Действуя в рамках линейных знаковых языков, мы постоянно пользуемся некоторыми их свойствами, которые представляются нам столь очевидными и само собой разумеющимися, что мы даже не даем себе труда сформулировать их в виде аксиом. Возьмем для примера такое утверждение: если к символу (знаку) B приписать слева символ A, а справа — символ C, то получится такое слово (последовательность знаков), как если к A приписать справа В, а затем C. Это и ему подобные утверждения обладают математической достоверностью, ибо мы не можем себе представить, чтобы было иначе. Один из разделов современной математики — теория полугрупп — изучает свойства линейных знаковых систем с аксиоматической точки зрения и простейшие из их свойств объявляет аксиомами.

И геометрические, и арифметические, и линейно-знаковые аксиомы имеют одну и ту же природу и опираются, в сущности, на одни и те же фундаментальные понятия, такие как тождество, движение, непрерывность, порядок. Никакой принципиальной разницы между этими группами аксиом нет. И если выбирать для них какой-то один термин, то их следовало бы назвать геометрическими или геометрически-кинематическими, так как все они отражают свойства нашего пространственно-временного опыта и пространственно-временного воображения. Более или менее значительное различие можно обнаружить лишь в группе «собственно геометрических» аксиом: некоторые аксиомы, касающиеся прямых и плоскостей, отражают более специфический опыт, связанный с существованием твердых тел. То же относится, по-видимому, и к метрическим понятиям. Впрочем, и это различие довольно условное. Можем ли мы говорить что-нибудь всерьез о тех понятиях, которые мы имели бы, если бы в мире не было твердых тел?

До сих пор речь шла лишь об абсолютной достоверности аксиом. А откуда у нас уверенность в достоверности утверждений, полученных из аксиом путем логического вывода?

Из того же источника: наше воображение отказывается допускать ситуацию, когда путем логического вывода мы из верных посылок получаем неверные результаты. Логический вывод состоит из последовательных шагов. На каждом шаге мы, опираясь на предшествующие утверждения, получаем новое утверждение. Из разбора формального логического вывода, который мы отложим до следующей главы, будет видно, что наша уверенность в том, что на каждом шаге мы из истинных утверждений можем получить только истинное утверждение, основывается на логических аксиомах, которые представляются нам столь же достоверными, как и рассмотренные выше математические аксиомы, и по той же причине - абсолютной невообразимости противоположной ситуации.

Имея эту уверенность, мы приобретаем уверенность, что сколько бы шагов ни содержал бы логический вывод, он все равно будет обладать этим свойством. Здесь мы используем следующую важнейшую аксиому.

Аксиома индукции: Допустим, что функция f(x) оставляет неизменным свойство Р(х), т. е.

(?х){P(x)) P[f(x)]}.

Обозначим через f(x) результат последовательного n-кратного применения функции f(x), т. е.

f(x) = f(x), f(x) = f[f(x)].

Тогда при любом n функция f(x) также оставляет неизменным свойство P(x), т. е.

(?n)(?х){P(x) P[f(x)]}.

По своему происхождению и характеру логические аксиомы и аксиома индукции (которую относят к арифметике, так как она включает понятие числа) ничем не отличаются от остальных аксиом: все они суть математические аксиомы. Различие существует лишь в характере их использования. Когда математические аксиомы применяются к математическим утверждениям, они становятся элементами метасистемы. в рамках системы математически достоверных утверждений и мы называем их логическими аксиомами. Благодаря этому система математически достоверных утверждений становится способной к развитию. Великое открытие греков состояло в том, что можно прилагать достоверное к достоверному, и получать таким образом новое достоверное.