Точность сравнения величин

Легко видеть, что абсолютная точность сравнения измеримых объектов в математике и абсолютная однозначность математических утверждений являются просто следствием того, что язык математики представляет собой дискретную кибернетическую систему. В самом ли деле дискретную? По отношению к арифметике, алгебре и вообще к языку символов это не вызывает сомнения. Если головку у двойки увеличить или уменьшить, от этого она не превратится ни 2,01, ни в 1,99. Текст из N символов — это кибернетическая система из N подсистем, каждую из которых можно представлять себе в виде клеточки, содержащей символ; пусть полное число различных символов есть n, тогда каждая подсистема может находиться в одном из n состояний. Но геометрический язык — язык фигур — на первый взгляд представляется непрерывной системой. Линии на чертеже могут иметь произвольную длину, образовывать произвольные углы и т. д. И все же в действии геометрический язык оказывается дискретной системой. Детали геометрического чертежа такие, как значения длины отрезков и величин углов, не играют роли ни для хода доказательства, ни для декодирования чертежа. Существенны лишь такие особенности чертежа, как: пересекаются ли две данные прямые, проходит ли данная прямая через данную точку, лежит ли данная точка на пересечении данной прямой и данной окружности и т. п. Всю эту информацию можно закодировать текстом с помощью какой-либо специальной системы обозначений или просто на русском языке. Язык геометрии можно сравнить с языком игры в шахматы. Шахматные фигуры никогда не занимают строго центральное положение в квадратах шахматной доски, могут даже отчасти вылезать за пределы своего квадрата, но это никак не влияет на ходы, которые можно делать фигурами.

Утверждения об абсолютно точном равенстве отрезков, углов и т. п. это просто некоторые состояния системы «геометрический язык». Так как эта система дискретна и детерминированна — при условии соблюдения правил логического вывода, то, если из условий задачи следует, что AB = BC, мы неизменно будем получать этот результат, сколько бы раз ни повторяли доказательство (предполагается, конечно, что система аксиом не противоречива — только такие системы имеют право на существование в математике). Поскольку условие задачи уже формулируется на геометрическом языке, весь путь от условия к результату есть синтаксическое преобразование L > L внутри дискретной языковой системы. Совсем другой статус имеют утверждения эмпирического языка. Сам по себе этот язык, конечно, тоже дискретен, но эмпирические утверждения отражают семантические преобразования L > S выводящие нас в область неязыковой действительности, которая не является ни дискретной, ни детерминированной. Когда мы говорим, что два стержня имеют равную длину, это означает, что процесс их измерения будет всякий раз давать одинаковый результат. Однако из опыта известно, что, имея возможность неограниченно повышать точность измерения, мы рано или поздно обязательно получим разнящиеся значения длины, поэтому эмпирическое утверждение об абсолютно точном равенстве вообще лишено смысла. Другие утверждения эмпирического языка, которые имеют смысл и могут быть выражены на языке исчисления предикатов, например «стержень номер 1 меньше, чем стержень номер 2», обладают той же «абсолютной точностью», являющейся тривиальным следствием дискретности языка, что и математические утверждения о равенстве отрезков: это утверждение либо «в точности» истинно, либо «в точности» ложно. Однако из-за вариаций процесса измерения ни то, ни другое не является абсолютно достоверным.