Что такое математика?

Для нас математика — это прежде всего язык, позволяющий создавать определенного рода модели действительности — математические модели. Как и в любом другом языке (или ответвлении языка), языковые объекты математики — математические объекты — суть материальные предметы, фиксирующие определенные функциональные единицы — математические понятия. Когда мы говорим, что объекты «фиксируют функциональные единицы», мы понимаем под этим, что человек, используя распознающие способности своего мозга, совершает над этими объектами или в связи с ними определенную языковую деятельность. Ясно, что не конкретный вид (форма, вес, запах) математического объекта играет роль в математике, а именно языковая деятельность, с ним связанная. Поэтому термины «математический объект» и «математическое понятие» часто употребляют как синонимы. Языковая деятельность в математике естественным образом распадается на две части: установление связи между математическими объектами и неязыковой реальностью (эта деятельность определяет семантику математических понятий) и преобразования внутри языка — математические выкладки и доказательства. Математической деятельностью обычно называют только вторую часть, а первую называют приложением математики.

Точки, линии, прямоугольные треугольники и прочее — все это математические объекты, это предметы, которые образуют наши геометрические чертежи или стереометрические модели: пятна краски, шарики из пластилина, проволочки, куски картона и т. п. Семантика этих объектов известна: точка, например, это объект, размерами и формой которого можно пренебречь. Таким образом, «точка» — это просто абстрактное понятие, характеризующее отношение объекта к его окружению. В некоторых случаях мы всю нашу планету рассматриваем как точку. Но когда мы строим математическую (геометрическую) модель, мы обычно наносим на бумагу маленькое пятнышко краски и говорим: «пусть дана точка A». Это пятнышко краски и есть языковый объект L, а планета Земля может оказаться в роли соответствующего объекта R. Никаких других, «настоящих» или «идеальных», т. е. не имеющих размеров, точек нет. Часто говорят, что «настоящих» точек нет в природе, но они существуют в нашем воображении. Это ходячее высказывание либо абсолютно бессмысленно, либо ложно — в зависимости от того, как его толковать. В любом случае оно приносит вред, так как затемняет суть дела. Никаких «настоящих» точек в нашем воображении нет и быть не может. Когда мы говорим, что представляем себе точку, мы просто представляем очень маленький предмет. Можно вообразить только то, что можно составить из данных чувственного опыта. Да и то далеко не все. Число тысяча, например, вообразить нельзя. И большие числа, и идеальные точки, и линии существуют не в нашем воображении, а в нашем языке — как языковые объекты, с которыми мы обращаемся определенным образом. В этих правилах обращения и проявляется сущность математических понятий, в частности «настояшесть» точки: размеры точек на чертеже не влияют на ход доказательства, а если надо поставить две точки так близко, что они сольются в одну, мы можем увеличить масштаб.

Но разве не свойственна утверждениям математики абсолютная точность и достоверность, резко отличающая их от содержания эмпирического знания, по преимуществу приблизительного и гипотетического? Путем измерения мы можем обнаружить, что два отрезка примерно равны, но никогда, что они равны в точности; такие утверждения — привилегия математики. На основании многовекового опыта человечества мы каждый вечер после захода Солнца можем предсказать, что завтра рано утром оно взойдет вновь. Но это предсказание — всего лишь гипотеза, хотя и весьма вероятная. Не исключена возможность, что где-то в недрах Солнца или вне его назревает космическая катастрофа неизвестной природы, в результате которой Солнце погаснет или развалится на части. Когда же мы говорим, что если к двум прибавить два, то будет четыре, или что уравнение x = 2 не имеет рациональных решений, мы убеждены, что эти предсказания абсолютно достоверны и будут верны всегда и всюду, если даже не только Солнце, но и вся Галактика развалится на кусочки. Мы просто не можем представить себе, чтобы было иначе. Существует, следовательно, различие между математическими моделями действительности и другими моделями, составляющими содержание нашего житейского опыта и естественных наук. Какова же природа этого различия?