Решение уравнений

С развитием техники счета и вообще с развитием цивилизации стали появляться и решаться все более сложные уравнения. Древние не знали, конечно, современного алгебраического языка, они выражали уравнения на обычном разговорном языке подобно тому, как это делается в наших школьных учебниках арифметики. Но это не меняет сущности задач, которые они решали (и так называемых арифметических школьных задач), как задач на решение уравнений.

Величину, подлежащую определению, египтяне называли «аха», что переводят как «некоторое количество» или «куча». Вот пример формулировки задачи из египетского папируса: «количество и его четвертая часть дают вместе 15». Это задача «на части» по современной арифметической терминологии, а на алгебраическом языке она соответствует уравнению

x + / x = 15.

Приведем пример более сложной задачи египетских времен.

Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть / + / стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это.

Решение в современных обозначениях:

x + (/ x) = 100, (1 + /) x = 100,

/ x = 10, x = 8, / x = 6,

Описание решения в папирусе:

Возьми квадрат со стороной 1 и возьми / + / от 1, т. е. / + / в качестве стороны второй площади. Помножь / + / на самое себя, это дает / + /. Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за / + /, то сложи обе площади вместе; это дает 1 + / + /. Возьми корень отсюда: это будет 1 + /. Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит 1 + / в 10? Это входит 8 раз.

Дальше текст не сохранился, но конец очевиден: 8 ? 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 ? (/ + /) = 6 — второго.

Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным. Вавилоняне продвинулись гораздо дальше. Вот пример задачи из вавилонских текстов.

Площади двух моих квадратов я сложил: 25 /. Сторона второго квадрата равна / стороны первого и еще 5.

Далее следует совершенно правильное ее решение. Эта задача эквивалентна системе уравнений с двумя неизвестными:

x + y = 25 /, y = / x + 5.

Вавилоняне умели решать полное квадратное уравнение

x ± ax = b,

кубические уравнения

x = a и x (x + 1) = a,

системы уравнений, подобные приведенной выше, а также вида

x ± y = a, xy = b.

Кроме того, они пользовались формулами

(a + b) = a + 2ab + b и (a + b)(a - b) = a - b,

умели суммировать арифметические прогрессии, знали суммы некоторых числовых рядов и числа, которые впоследствии подучили название пифагоровых (такие целые числа x, y, z, что х + у = z).

Формула

Место древнего Египта и Вавилона в истории математики можно определить следующим образом: в этих культурах впервые появилась формула. Под формулой мы понимаем не только буквенно-цифровое выражение современного алгебраического языка, но вообще всякий языковый объект, являющийся точным (формальным) предписанием, как производить преобразование L > L или какие-либо вспомогательные преобразования в рамках языка. Формулы представляют собой важнейшую часть любой развитой теории, хотя, конечно, не исчерпывают ее, ибо в теорию входит еще семантика языковых объектов L. Утверждение о связи между величинами сторон в прямоугольном треугольнике, содержащееся в теореме Пифагора, — это формула, если даже оно выражено словами, а не буквами. Типовая задача с описанием хода решения («делай так!») и с примечанием, что числа могут быть произвольны (это может быть не высказано, но подразумеваться), — это тоже формула. Именно такие формулы и дошли до нас в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.